海岸线文学

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第六百四十一章 minkowski猜想和bernstein问题（第1页）

他先与郑绍远合作，用实的Monge-Ampere方程解决了着名的闵可夫斯基（Minkowski）猜想和闵可夫斯基时空中的伯恩斯坦（Bernstein）问题，此后再将他自己发展的梯度估计技术发挥到极致，终于在1975年完全解决了卡拉比猜想。

首先，对于第一陈类小于和等于零的紧卡勒流形，卡拉比猜想告诉我们，Kahler-Einstein度量总是存在。

但是即使已经具备了这些工具，仍然有许多准备工作要做。

第一道难关，是在此之前，除了复一维的情形外，还没有任何人解过复系数蒙日—安培方程。

就像登山者不断挑战更高的山岳，我则是向更高维挑战。

为了培养攻克高维蒙日—安培方程的实力（它们有多么非线性是不消说的），我和我的朋友郑绍远开始研究某些高维的题目，先从实数的情况着手，然后再对付更难的复方程。

我们首先找上的是闵可夫斯基在19世纪与20世纪之交所提出的着名难题。

闵可夫斯基问题涉及先取一些预设信息为条件，然后判定符合这些条件的结构是否存在。

以一个简单多面体为例，当你检视这样的结构时，可以借由其面数、边数和尺寸来刻画它。

而闵可夫斯基问题则是反过来问：如果被告知面的形状、面积、数目和方向，你能否判定有没有符合这些条件的多面体？若有的话，是否唯一？

实际的闵可夫斯基问题的范围更广，因为它适用于任意的凸面（convexsurface），而不只是多面体。

其中各面的方向条件，则改用曲面各点的指定曲率来取代，而这些曲率则是各点的法向量（normalvector）所对应的函数值，这相当于描述曲面各点所指的方向。

然后你可以问，具有上述指定曲率的物体是否存在。

将问题这样表述的一大好处，是问题不再以纯几何的形式来呈现，它也可以写成偏微分方程。

纽约大学理工学院的鲁特维克（ErwinLutwak）解释说：“如果能解出这个几何问题，附带还可以得到一项大礼：你同时也解决了一个可怕的偏微分方程。

几何和偏微分方程之间的交互关系，是这个问题如此重要的原因之一。”

郑绍远和我找到一个方法来解这题，我们的论文在1976年发表。

不过后来发现，另一个独立的解答，已在数年前由俄罗斯数学家波戈列洛夫（AlekseiPogorelov）发表在1971年的一篇论文里。

论文是以俄文撰写的，所以郑绍远和我原先并不知道该篇论文存在。

总结起来，关键在于解一个先前无人解过的复非线性偏微分方程。

即使先前不曾有人解过这个问题（波戈列洛夫除外，但是当时我们并不知道他的研究），但是关于如何处理非线性偏微分方程，却已有一套明确的既定程序，称为“连续法”

（continuitymethod），这是一种采取一连串估计的方法。

方法本身并不新奇，诀窍在于能制定出一套对于手上问题特别有效的策略。

连续法的基本想法是通过一次次愈来愈准确的估计来逐渐逼近解答。

证明的本质在于论证经过足够多次的迭代之后，这个过程可以收敛到一个良好的解。

如果一切顺利，最后你得到的，仍然不会是可以作为解而写下来的明确算式，而只是证明出该方程的解的确存在。

就卡拉比猜想以及与它同性质的问题而言，证明某一偏微分方程有解，就等于几何里的存在性证明，说明给定某一“拓扑”

条件，则合乎该条件的特定几何形体确实存在。

不过这也并不表示你只证明了有解，却对解一无所知。

因为你证明解存在的方案，可以转化成运用电脑计算来逼近答案的数值技巧。

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