海岸线文学

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第六百三十四章 陈氏类（第2页）

简单来说，如果两个流形的陈氏类不同，它们就不可能相同；反之却不一定成立：两个不同的流形可能具有相同的陈氏类。

复一维的黎曼面只有一个陈氏类，即第一陈氏类，而对于这个情况，正好等于欧拉示性数。

一个流形的陈氏类数目，视其维数而定，例如复二维的流形具有第一和第二陈氏类。

至于弦论所关心的复三维（或实六维）流形，则有三个陈氏类。

它的第一陈氏类为六维空间中的实二维子空间（子流形）各对应到一整数，其中所谓子空间是原空间的一部分形体，就像纸张（二维）可以摆在办公室（三维）里一样。

类似地，第二陈氏类为空间中的实四维子流形各对应一整数。

第二陈氏类则为这个复三维（或实六维）的流形本身指定一个数字，也就是欧拉示性数χ。

事实上，对于任何复n维的流形，它的最后一个，亦即第n个陈氏类必定对应到流形的欧拉示性数。

但陈氏类究竟告诉了我们什么？或者说，指定这些数字的目的何在？其实这些数对于子流形本身并没提供多少信息，但是对于整个流形，它们却透露出许多重要的讯息。

这在拓扑学是很常见的：当要了解复杂、高维的物体结构时，我们经常检视此物体中的子物体的数目和类型。

打个比方，假设你给身在美国的每个人都编上不同编号。

那么，为个人指定的数字丝毫无助于理解他或她本人，但若把这些数字汇总起来，就可以呈现出更大的“物体”

——美国本身——的重要情报，例如人口规模、人口成长率等。

我们还可以再举一个具体实例，来解释这个相当抽象的概念。

让我们依照惯例，从很简单的物体开始。

球面是一个复一维或实二维的曲面，它只有一个陈氏类，在这个情况等于欧拉示性数。

回想一下，我们在第2章讨论过，居住在球形行星上时，关于气象学和流体力学的一些影响。

例如风有没有可能在地表上的每一点都是由西向东吹？在赤道以及赤道之外的任何纬度线，都很容易想象风如何向东吹。

但是在南极和北极的极点（这两点可以被视为奇点），却根本没有风，这是球面几何的必然结果。

对于这种有着明显例外的特殊点的曲面，它的第一陈氏类不等于零。

第一陈氏类（对于本图中的二维曲面来说，正好等于欧拉示性数）与向量场中流动停滞的地方有关。

在像地球的球面上，我们可以看到两个这样的点。

如果流动是从北极往南极流（左上图），在两个极点上，所有表示流动的向量会彼此抵消，因此净流动为零。

同理，如果流动是由西向东（右上图）还是会有两个根本没有流动的停滞点，同样又是出现在北极点和南极点，因为在此根本没有西向、东向可言。

如果是环面，情形就不同了。

在此，流动可以是铅直的（左下图）或水平的（右下图），都不会遇到停滞点。

由于环面上的流动没有奇点，所以它的第一陈氏类是零，而球面的则不是零。

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