海岸线文学

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第五百三十六章 格罗滕迪克概形代数几何（第2页）

他在上世纪五六十年代以十几部巨着建构成的宏大而完整的“概型理论”

，堪称现代代数几何的巅峰；其首次给出的黎曼-洛赫-格罗腾迪克定理的代数证明导致了如下数学事件：

1973年，P。德利涅证明了韦伊猜想；

1983年，G。法尔廷斯证明了莫德尔猜想；

1995年，A。怀尔斯证明了谷山-志村猜想，进而解决了有三百五十多年历史的费尔马大定理。

上述代表了当代数学最高水平的成果，足以震古烁今，彪炳数学史册。

20世纪的代数几何学涌现了许多天才和菲尔兹奖，但是上帝只有一个，就是格罗滕迪克。

他的系列专着EGA是公认的代数几何圣经。

虽然概形看起来是抽象的很虚空的，但是确实实实在在的东西。

以后，大家都会用到这个工具。

概形概念的引入，使代数几何学还原为交换代数学。

所研究的领域是泛函分析中的拓扑线性空间。

在这之后，格罗腾迪克投入到了同调代数的研究中。

也是在那个时期，他开始了与塞尔的长期着名通信。

从塞尔以及其他的数学家那里，格罗滕迪克学到了许多现代数学和代数几何的基本知识，转而对代数几何和数论产生了浓厚的兴趣。

他研究建立代数几何基础理论的强烈动机之一其实也是为了想证明那个与黎曼猜想类似的有限域上高维代数簇的韦依猜想。

前面曾经谈到在仿射代数簇和它的坐标环之间有一一对应的关系，因此对仿射代数簇的几何研究也就可以转化为对相应的坐标环的代数研究。

然而坐标环是一种性质很好的环，它在环论中还有一个专门的名称叫“-代数（-algebra）”

。

由于不是每个交换环都可以成为仿射代数簇的坐标环（例如整数环就是如此），所以格罗腾迪克就想用任意的交换环来构造一种类似于仿射代数簇那样的抽象的几何对象，使得每一个交换环都可以成为这种抽象几何对象的“坐标环”

。

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大约在1957年左右，卡吉耶（Cartier）建议用交换环的全体素理想的集合（称为的“素谱”

）来作为与对应的“几何对象”

，它是经典仿射代数簇的抽象推广。

这个简单的想法立即成为了格罗腾迪克重建代数几何基础的出发点。

这是因为每个交换环的素谱连同它上面的结构层一起，都能够组成一个环层空间（，），这个环层空间就是最简单的概形——“仿射概形（affinescheme）”

。

这个仿射概形就是格罗腾迪克心目中的“抽象的几何对象”

。

一旦有了仿射概形，那么对这种新的几何对象的研究就能够转化为对任意交换环的代数研究，这就将极大地拓展这种新几何的适用范围，实现人们长久以来梦寐以求的将代数几何与代数数论统一起来的梦想。

概形就是局部同构于仿射概形的环层空间，或者也可以将概形粗略地理解为是将一些仿射概形经过适当的“粘贴”